बंद दारामागील वस्तू ओळखा आणि बक्षीस जिंका! “मॉन्टी हॉल” प्रॉब्लेमच्या मागची नेमकी ट्रिक…
आमचे सर्व लेख मिळवण्यासाठी फॉलो करा : फेसबुक | ट्विटर | इंस्टाग्राम | टेलिग्राम । शेअरचॅट
–
व्हिडिओजसाठी फॉलो करा : इनमराठी युट्यूब चॅनल
===
मॉन्टी हॉलची समस्या ही एखादे कोडे सोडवताना अंतर्मनाचा कौल घेणारी एक काल्पनिक समस्या आहे.
उदा. समजा तीन दरवाजे आहेत. तुम्हाला सांगण्यात येतं, की या तीनपैकी दोन दरवाज्याच्या मागे बकरी बांधलेली आहे आणि एका दरवाज्याच्या मागे कार उभी आहे.
तुम्ही नेमक्या दरवाज्यावर हात ठेवलात तर त्या दरवाज्यामागे असलेली वस्तू तुम्हाला मिळेल.
साहजिकच तुम्ही कार असलेल्या दरवाज्यावर हात ठेवण्याची इच्छा धराल आणि कुठल्यातरी एका दरवाजावर अंदाजानेच हात ठेवाल.
त्याचवेळेला गेम होल्डर दुसऱ्या एका दरवाजावर हात ठेवून तो दरवाजा उघडेल. त्यामागे बकरी बांधलेली दिसते.
याचा अर्थ आता तुम्ही हात ठेवलेल्या आणि उरलेल्या तिसऱ्या अशा दोन दरवाजांपैकी कुठल्या तरी एकाच्या मागे कार असणार आहे आणि एकच्या मागे बकरी.
अशावेळी गेम होल्डर तुम्हाला संधी देतो, की तुम्हाला तुमचा निर्णय बदलायचाय, की तुम्ही आधी ज्या दरवाजावर हात ठेवला होतात त्याच दरवाजावर ठाम आहात?
अशावेळी साहजिकच गेम खेळणारा कन्फ्युज होतो. नक्की काय करावे हे त्याला कळत नाही. कार कुठल्या दरवाजामागे असेल, हे काही अजूनही सांगता येत नाहीच.
आश्चर्य म्हणजे हा गेम ५०-५० टक्क्यांचा नाही. तुम्ही जर दार बदललंत तर तुम्ही जिंकण्याची शक्यता २/३ ने वाढते.
चला तर पाहू या. एक साधा गेम इतका गोंधळाचा कसा काय होऊ शकतो? ही शक्यता का वाढते? निर्णय बदलल्याने जिंकण्याची शक्यता खरंच वाढते का?
तुम्ही हा गेम ऑनलाईन खेळून पाहा. तुम्ही ज्या दारावर आधी हात ठेवला असेल, तो संधी मिळूनही बदलला नाहीत, तर तुम्ही हरण्याच्या शक्यता वाढतात.
पुन्हा पुन्हा करून पाहा. मग लक्षात येईल, की तुमच्या जिंकण्याच्या शक्यता फक्त १/३ राहतात. आणि जर का तुम्ही संधी मिळाल्यावर दार बदलून पाहिले तर जिंकण्याच्या शक्यता २/३ ने वाढतात.
हे असं का होतं ते पाहू या –
हे समजायला जरा कठीण, पण पटणारं कोडं आहे. ते जरा सोप्या पद्धतीने पाहू या –
समजा आपण एका दरवाजावरच ठाम राहिलो, तर आपल्याला जिंकण्याची शक्यता फक्त १/३ कशी असते ते पाहू :
समजा आपण तीन दरवाजांपैकी एक नंबरच्या दरवाजावर हात ठेवला. आणि त्यावरच ठाम राहिलो, तर माझ्या संधीच्या शक्यता कमीच राहतात.
मॉन्टी अजून पन्नास दरवाजे ठेवेल, किंवा दुसरं उरलेलं दार गायब करून टाकेल. त्यामुळे मला काही फरक पडत नाही.
मी माझ्या आधीच्या निर्णयासह तीनापैकी एकाच शक्यतेवर राहतो म्हणजेच एक तृतीयांश शक्यतेवर राहतो. मात्र त्यातील एक बाद केल्यावर उरलेला दुसऱा हा २/३ शक्यतेवर असतो.
आता हे विश्लेषण म्हणून तर बरोबर आहे. ठिक आहे. पण जिंकण्याची शक्यता दुसऱ्या दारामागे अधिक कशी काय असते ते यातून कळले नाही अजून…बरोबर?
या गेममध्ये लागणारी गाळणी समजून घेऊ या –
आधी निवडलेल्या दारापेक्षा संधी मिळाल्यावर दुसरे दार निवडलेले अधिक यशस्वी का होते या मागचे कारण दुसऱ्या उदाहरणांसह पाहू :
समजा तिथे तीनाऐवजी शंभर दारे असतील. त्यातून एकच दार निवडायचं आहे तुम्ही ते निवडले.
मॉन्टी आता बाकीच्या ९९ दारांकडे बघतो आणि त्यातील एक सोडून बाकीची सगळी उघडून टाकतो. त्या सगळ्यांत बकरी असते.
आता राहिली दोन दारे. त्यापैकी कशाच्या मागे कार असेल तुम्ही निवडलेल्या की उर्वरीत दुसऱ्या?
आपल्याला १०० पैकी कोणताही दरवाजा निवडायचा आहे, की ९९ पैकी सर्वोत्तम यशाचा?
म्हणजेच आपल्याला कुठलीतरी अंदाजे एक संधी घ्यायचीय, की नव्व्याण्णवपैकी बेस्ट एक असलेल्या अंदाजे निवडायचाय?
आता बाकीचे दरवाजे उघडून टाकून मॉन्टीने आपल्याला मदतच केलेली आहे, हे आधी लक्षात घ्या. कारण त्याने अनेक पर्यायांपैकी सगळे बाद करून आपल्याला फक्त दोनच पर्यायांमधून निवड करण्याची संधी उपलब्ध करून दिलेय.
पण… पण.. तरीही दोन पर्याय म्हणजे ५०-५० टक्केच संधी नव्हे का?
आपण या गैरसमजातून बाहेर येऊ या –
दोन पर्याय म्हणजे ५०-५० टक्के शक्यता असं समजणं हाच आपल्या मार्गातील मोठा अडथळा आहे.
दोन पर्याय म्हणजे कुठल्या दारामागे काय आहे हे माहित नसताना ती शक्यता पन्नास पन्नास टक्के आहे हे बरोबरच आहे.
आता समजा मी तुम्हाला म्हटलं, की दोन जापनीज पिचर्स आहेत त्यातील वरचा नंबर कोणाचा आहे. तुम्हाला अर्थातच अंदाजानेच सांगावं लागेल. तुम्ही कोणतेतरी दोन पैकी तुम्हाला आवडलेले नाव अंदाजे सांगून टाकाल.
पण मी जर त्या दोघांपैकी एकाचे नाव घेऊन सांगितले, की याची कधीच परीक्षा घेतली गेली नाही. आणि दुसरा मात्र मागील दहा वर्षांतला ‘चांगला खेळाडू’ म्हणून पुरस्कार मिळवलेला आहे. तर तुम्ही तुमचा निर्णय बदलून त्याचेच नाव घ्याल ना?
मात्र तुमच्या सोबत खेळ खेळणाऱ्या दुसऱ्या स्पर्धकाला ही माहिती दिली नाही, तर तो अजूनही पन्नास-पन्नास टक्के शक्यता आहेत असेच म्हणेल.
थोडक्यात माहिती महत्त्वाची ठरते.
जितकी माहिती अधिक तितका निर्णय चांगला –
आता वरील जापनीज खेळाडूंबद्दल तुमच्या स्पर्धकापेक्षा तुम्हाला अधिक माहिती मिळाली आहे. अर्थात इथं तो नवीन खेळाडू ज्याची अजून परीक्षा घेतलेली नाही तो सुद्धा बेस्ट प्लेयर ठरण्याची शक्यता आहेच.
परंतु शक्यता पडताळता ज्याच्याबद्दल माहिती कळली आहे त्याला नंबर देण्यात शहाणपणा आहे. आणि हेच नेमकं घडतं शंभर दरवाजांच्या खेळाबाबतीत.
तुम्ही आधी निवड केली होती ती शंभरपैकी अंदाजे कुठल्या तरी एका दाराची. पण तुमचा दुसरा पर्याय जो आहे, ते दार बाकीच्या ९९ दारांना हरवून उरलेलं आहे. आणि ते दार आधीच्या दारापेक्षा जास्त सरस असण्याची शक्यता आहे.
आता चित्र स्पष्ट होईल –
ही चाळण लावून केलेली प्रोसेस आता स्पष्ट होईल. सुरुवातीला प्रत्येक दाराच्या मागे कार असण्याची शक्यता होती. आणि ती सारखीच होती. आणि ती शक्यता प्रत्येक दारामागे विभाजित झालेली होती.
मॉन्टीने बाकीच्या ९९ दारांपैकी ९८ उघडून दाखवली तेव्हा ती शक्यता कमी कमी होत एकाच उरलेल्या पर्यायामागे येऊन ठेपली. आणि त्या दाराकडे मन जास्त आकर्षित होऊ लागलं.
परंतु त्यात पुन्हा उर्वरित ९८ दारांप्रमाणेच काही नसण्याची शक्यताही उरलीच. इथेच खरी गोम आहे – मॉन्टीने तुम्ही निवडलेल्या दाराची शक्यता वाढवलेली नाही.
त्याने मुद्दामच तुमचे दार तपासलेले नाही आणि त्यामागे असलेली बकरी दाखवलेली नाही. तो तुमचे दारही उघडून दाखवू शकला असता आणि बाकीची दोन दारे ठेवू शकला असता. पण त्याने तसं केलं नाही.
त्याने उरलेली दारेच उघडली आणि त्यातलं एक शिल्लक ठेवलं. अर्थातच उरलेल्या दारांमागे कार नव्हती. केवळ बकऱ्याच निघाल्या.
त्याने जर तुमचे दार उघडले नाही, आणि बाकीची ९८ दारे आता बाद झाली आहेत, म्हणजेच कार जी आहे, ती दुसऱ्या पर्यायात असण्याची शक्यता अधिक आहे.
खेळाचे सामान्यीकरण-
नवीन माहिती जोडल्याने खेळाचे पुनर्मुल्यांकन करणे शक्य झाले. चाळणी लागल्यामुळे बाकीचे पर्याय स्पष्ट झाले. एकच पर्याय उरला. त्यामुळे आता पूर्वीच्याच निवडीवर ठाम राहण्याची गरज कमी झाली.
सिद्धांताचे मुल्यांकन –
जेव्हा कोणताही पुरावा नाही, तेव्हा दोन्ही सिद्धांत सारख्याच शक्यतेचे असतात. पण जेव्हा आपण जास्तीची माहिती मिळवतो, तेव्हा आपला आत्मविश्वास वाढतो आणि आपल्या ए आणि बी मधील कोणती निवड योग्य राहिल याचा विचार करू शकतो.
प्रश्न फक्त एवढाच आहे, की हा आत्मविश्वास मिळवण्यासाठी किती माहिती मिळणे आवश्यक असते? पण जितकी माहिती अधिक मिळते तितका आपला निर्णय बदलण्याची संधी वाढते.
सारांश –
या खेळातले की पॉइन्ट्स जाणून घ्या –
जेव्हा तुम्हाला या दोन्हीबद्दल काहीच नव्याने माहिती कळलेली नसते, तोपर्यंत तुमची निवड आणि पर्याय यांच्यात जिंकण्याच्या शक्यता ५०-५० टक्के असतात हे बरोबर, परंतु इथं मॉन्टीने आपल्याला मदत केलेली आहे गाळणी लावून.
शंभरपैकी ९८ दारे उघडून त्यात कार नाही हे दाखवून आपली मदत केलेय. आणि आता ९९ ऐवजी एकच पर्याय दिलाय. त्याचवेळी मॉन्टी चलाखीने तुमचा दरवाजा उघडून दाखवत नाही.
त्यामुळे इथं तुमच्या माहितीत भर पडतेय. की कोणत्या दारामागे कार नव्हती हे कळतंय. निवड कमीत कमी झाली. आणि सामान्यपणे अधिकची माहिती म्हणजे निर्णय बदलण्याची संधी असते.
इथं हे कोडं समजावून घेणं हे आपलं ध्येय नाही, तर नंतर मिळालेली माहिती आधीच्या कृतीला आणि निर्णयाला कसे आव्हान देते हे लक्षात घेणं महत्त्वाचं आहे.
अजून एक उदाहरण घेऊन हे समजून घेऊ या
समजा तुमच्या मित्राला या दोनपैकी निवड करायला सांगितली तर… परंतु त्याला त्या आधी मॉन्टीने बाकीचे ९८ दरवाजे उघडून दाखवल्याची माहिती नाहीये समजा.
अशावेळी त्याच्यासाठी हे दोन्ही पर्याय ५०-५० टक्केच असतील. आणि तो अंदाजे एक दरवाजा निवडायला सांगेल.
त्याला विचार करायला वाव नाही, कारण त्याच्याकडे ही माहिती नाही. त्यामुळे दुसरा पर्याय बेटर असू शकतो हे तो सांगू शकत नाही.
परंतु गोंधळ असा आहे, की आपण आपल्याला माहिती मिळून देखील अनेकदा पहिल्याच निवडीवर ठाम राहतो आणि तिथेच चूक करतो.
समजा मॉन्टीने सगळे दरवाजे उघडून दाखवले आणि पुन्हा बंद करून तुमच्या निवडीवाल्या दरवाजांसह सगळे पुन्हा उलटपुलट करून तुम्हाला निवड करायला सांगितले, तर त्याने तुम्हाला योग्य पर्याय निवडायला मदत होईल का?
नाही. मॉन्टी एक एक दरवाजा उघड करत जातो, परंतु तीन उरल्यावर थांबतो. आता तुमच्याजवळ दोन पर्याय उरतात.
म्हणजेच तुम्ही खेळाच्या पहिल्या टप्प्यावर येताय जिथे तुमच्यापुढे तीन दरवाजे होते आणि कारसाठी एकाची निवड करायची होती.
समजा मॉन्टीने तुमच्या पुढे शंभरपैकी सहा दरवाजे ठेवले. त्यातील एक तुम्ही निवडला.
उरलेले दरवाजे तो तीन आणि दोन मध्ये वेगळे करतो. त्यानंतर तो त्यातून एक एक दरवाजा उघडून त्यामागील बकरी दाखवतो. मात्र दोन्ही ग्रुपमधील एक एक दरवाजा न उघडता थांबतो.
आता तुमच्यापुढे पुन्हा तीन दरवाजे राहिले. सहा मधील तीन म्हणजे ५० टक्के जिंकण्याची संधी मिळाली.
त्यातील तुम्ही आधी निवडलेला १ सोडल्यास बाकी दोन राहिले. म्हणजे सहापैकी दोन राहिले म्हणजेच त्यात २/६ – ३३ टक्के योग्य पर्याय असल्याची शक्यता आहे.
—
आमचं युट्यूब चॅनल आणि त्यावरचे व्हिडिओज बघण्यासाठी चॅनलला फॉलो करा :
–
===
व्हिडिओजसाठी फॉलो करा : इनमराठी युट्यूब चॅनल
–
शेअरचॅटवर मिळवण्यासाठी क्लिक करा: इनमराठी शेअरचॅट ग्रुप
–
आता इनमराठीच्या लेखाच्या अपडेट्स मिळवा टेलिग्रामवर! जॉईन करा टेलिग्राम चॅनल: https://t.me/InMarathi
–
आमचे इतर लेख वाचण्यासाठी क्लिक करा: InMarathi.com | आमचे सर्व लेख मिळवण्यासाठी फॉलो करा : फेसबुक | ट्विटर | इंस्टाग्राम | टेलिग्राम । शेअरचॅट | Copyright © InMarathi.com | All rights reserved.
